Сложный процент

Сложный процент#

https://www.sapaviva.com/wp-content/uploads/2017/07/31S.-Jacob-Bernoulli-1654-1705.jpg — Fig. 1 Яков Бернулли#

Швейцарский математик Яков Бернулли (1655 — 1705) открыл число $е$ , изучая вопрос о банковском вкладе с капитализацией процентов. Такой депозит также называется вкладом со сложным процентом. Сложный он тем, что проценты прибавляются к сумме вклада после каждого отчётного периода. Часто встречается другая стратегия: проценты выплачиваются вкладчику по истечении срока, а сумма депозита на следующий период остаётся прежней. Тогда это вклад с простым процентом.

Вклад в аргентинском банке#

Представьте, что вы положили $$ 1$ в банк под $100 %$ годовых…

Но таких процентов не бывает в природе! Тем более в $!

Ну смотря где. В Аргентине, например, очень высокая инфляция, а в 2023 году она даже пробила отметку в $100 %$ годовых:

https://img.take-profit.org/graphs/indicatorspresident/40/1537/mauricio-macri-argentina-inflation-rate-2015-2023.png

При такой инфляции процентная ставка по вкладу в $100 %$ смотрится вполне реалистично. Да, и по странному стечению обстоятельств аргентинское песо также обозначается символом $.

Итак, вы положили

$ 1

в банк под

100 %

годовых. Сколько у вас будет денег на вкладе через год?

Type numeric answer here:

Как изменится ответ, если капитализация процентов происходит каждые полгода?

Type numeric answer here:

Решение (не открывайте сразу, попробуйте сначала решить самостоятельно)

За первые полгода вам начислят $50$ центов, и у вас станет $$ 1.5$ на вкладе
За второе полугодие вы получите $50 %$ от полутора песо, то есть 75 сентаво
В итоге у вас окажется $$ 1.5 + $ 0.75 = $ 2.25$

Можно было рассуждать несколько иначе:

За каждый расчётный промежток сумма вклада увеличивается на $50 %$ , то есть в полтора раза
Стало быть, через год у вас будет $1.5 \cdot 1.5 \cdot $ 1 = $ 2.25,$ или $(1 + \frac{1}{2})^{2}$ песо.

А по какой формуле вычисляется итоговая сумма вклада (в песо), если проценты капитализируются каждый месяц?

(1 + \frac{1}{30})^{30}

(1 + \frac{1}{12})^{2}

(1 + \frac{1}{12})^{12}

(1 + \frac{1}{30})^{2}

Возможно, вы уже уловили закономерность: наш песо превращается в

$(1 + \frac{1}{2})^{2} = 2$ песо $25$ сентаво при капитализации раз в полгода;
$(1 + \frac{1}{12})^{12} \approx 2$ песо $61$ сентаво при ежемесячной капитализации;
$(1 + \frac{1}{365})^{365} \approx 2$ песо $71$ сентаво при ежедневной капитализации;
$(1 + \frac{1}{n})^{n}$ песо, если капитализация происходит каждую $\frac{1}{n}$ -ю часть года.

Последняя общая формула объясняется тем, что на каждом отчётном периоде вклад увеличивается на $\frac{100}{n} %$ , что эквивалентно умножению текущей суммы на $1 + \frac{1}{n}$ .

Как изменится общая формула итоговой суммы депозита со сложным процентом, если вы вложите не

1

, а

D

песо?

2 D

D (1 + \frac{1}{n})^{n}

D (1 + \frac{D}{n})^{n}

(1 + \frac{1}{n})^{n D}

(D + \frac{1}{n})^{n}

(1 + \frac{D}{n})^{n}

С помощью общей формулы легко расчитать итоговую сумму вклада при любой частоте капитализации процентов:

Периодичность выплаты %	Сумма вклада через год, $
Ежеквартально	$2.4414$
Ежемесячно	$2.613$
Еженедельно	$2.6926$
Ежедневно	$2.714567482$
Ежечасно	$2.7182792427$
Ежесекундно	$2.718281778469$
Раз в наносекунду	$2.718281828459045$

Как видно из этой таблицы, поначалу измельчение отчётного периода даёт заметный эффект, однако, выгода от его дальнейшего уменьшения снижается. Например, переход от ежедневной капитализации к ежесекундной позволяет выиграть не более половины сентаво.

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 [{"question": "1 \u044f\u043d\u0432\u0430\u0440\u044f \u0432\u044b \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u043b\u0438 \\$1 \u043f\u043e\u0434 $100\\%$ \u0433\u043e\u0434\u043e\u0432\u044b\u0445 \u0441 \u0435\u0436\u0435\u043c\u0435\u0441\u044f\u0447\u043d\u043e\u0439 \u043a\u0430\u043f\u0438\u0442\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0435\u0439. \u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0441\u0443\u043c\u043c\u0430 \u0432\u0430\u0448\u0435\u0433\u043e \u0432\u043a\u043b\u0430\u0434\u0430 \u0432\u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0432\u044b\u0441\u0438\u0442 \\$2?", "type": "many_choice", "answers": [{"answer": "1 \u0441\u0435\u043d\u0442\u044f\u0431\u0440\u044f", "correct": false, "feedback": "\u041d\u0435\u0442, \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0435\u0435 \u0438\u0437\u0443\u0447\u0438\u0442\u0435 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a"}, {"answer": "1 \u043e\u043a\u0442\u044f\u0431\u0440\u044f", "correct": true, "feedback": "\u0414\u0430! \u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043e\u0447\u0435\u0440\u0435\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043a\u0430\u043f\u0438\u0442\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0430 \u0432\u043a\u043b\u0430\u0434\u0435 \u043e\u043a\u0430\u0436\u0435\u0442\u0441\u044f 2 \u043f\u0435\u0441\u043e \u0438 \u043f\u043e\u0447\u0442\u0438 6 \u0441\u0435\u043d\u0442\u0430\u0432\u043e"}, {"answer": "1 \u043d\u043e\u044f\u0431\u0440\u044f", "correct": false, "feedback": "\u041d\u0435\u0442, \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0435\u0435 \u0438\u0437\u0443\u0447\u0438\u0442\u0435 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a"}, {"answer": "1 \u0434\u0435\u043a\u0430\u0431\u0440\u044f", "correct": false, "feedback": "\u041d\u0435\u0442, \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0435\u0435 \u0438\u0437\u0443\u0447\u0438\u0442\u0435 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a"}]}, {"question": "1 \u044f\u043d\u0432\u0430\u0440\u044f \u0432\u044b \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u043b\u0438 \\$1 \u043f\u043e\u0434 $100\\%$ \u0433\u043e\u0434\u043e\u0432\u044b\u0445 \u0441 \u0435\u0436\u0435\u043d\u0435\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043a\u0430\u043f\u0438\u0442\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0435\u0439. \u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0441\u0443\u043c\u043c\u0430 \u0432\u0430\u0448\u0435\u0433\u043e \u0432\u043a\u043b\u0430\u0434\u0430 \u0432\u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0432\u044b\u0441\u0438\u0442 \\$2?", "type": "many_choice", "answers": [{"answer": "10 \u0441\u0435\u043d\u0442\u044f\u0431\u0440\u044f", "correct": false, "feedback": "\u041d\u0435\u0442, \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0435\u0435 \u0438\u0437\u0443\u0447\u0438\u0442\u0435 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a"}, {"answer": "17 \u0441\u0435\u043d\u0442\u044f\u0431\u0440\u044f", "correct": true, "feedback": "\u0414\u0430! \u041d\u0430 \u043d\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435 \u0441 17 \u043f\u043e 23 \u0441\u0435\u043d\u0442\u044f\u0431\u0440\u044f \u043d\u0430 \u0432\u043a\u043b\u0430\u0434\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 2 \u043f\u0435\u0441\u043e \u0438 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e 2 \u0441\u0435\u043d\u0442\u0430\u0432\u043e"}, {"answer": "24 \u0441\u0435\u043d\u0442\u044f\u0431\u0440\u044f", "correct": false, "feedback": "\u041d\u0435\u0442, \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0435\u0435 \u0438\u0437\u0443\u0447\u0438\u0442\u0435 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a"}, {"answer": "1 \u043e\u043a\u0442\u044f\u0431\u0440\u044f", "correct": false, "feedback": "\u041d\u0435\u0442, \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0435\u0435 \u0438\u0437\u0443\u0447\u0438\u0442\u0435 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a"}]}, {"question": "1 \u044f\u043d\u0432\u0430\u0440\u044f \u0432\u044b \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u043b\u0438 \\$1 \u043f\u043e\u0434 $100\\%$ \u0433\u043e\u0434\u043e\u0432\u044b\u0445 \u0441 \u0435\u0436\u0435\u0434\u043d\u0435\u0432\u043d\u043e\u0439 \u043a\u0430\u043f\u0438\u0442\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0435\u0439. \u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0441\u0443\u043c\u043c\u0430 \u0432\u0430\u0448\u0435\u0433\u043e \u0432\u043a\u043b\u0430\u0434\u0430 \u0432\u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0432\u044b\u0441\u0438\u0442 \\$2?", "type": "many_choice", "answers": [{"answer": "10 \u0441\u0435\u043d\u0442\u044f\u0431\u0440\u044f", "correct": false, "feedback": "\u041d\u0435\u0442, \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0435\u0435 \u0438\u0437\u0443\u0447\u0438\u0442\u0435 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a; \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0447\u0442\u043e, \u043c\u0430\u0441\u0448\u0442\u0430\u0431 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0443\u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u0442\u044c"}, {"answer": "11 \u0441\u0435\u043d\u0442\u044f\u0431\u0440\u044f", "correct": false, "feedback": "\u041d\u0435\u0442, \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0435\u0435 \u0438\u0437\u0443\u0447\u0438\u0442\u0435 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a; \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0447\u0442\u043e, \u043c\u0430\u0441\u0448\u0442\u0430\u0431 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0443\u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u0442\u044c"}, {"answer": "12 \u0441\u0435\u043d\u0442\u044f\u0431\u0440\u044f", "correct": true, "feedback": "\u0412 255-\u0439 \u0434\u0435\u043d\u044c \u0433\u043e\u0434\u0430, \u043d\u0430\u043a\u0430\u043d\u0443\u043d\u0435 \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0441\u0442\u0430!"}, {"answer": "13 \u0441\u0435\u043d\u0442\u044f\u0431\u0440\u044f", "correct": false, "feedback": "\u041d\u0435\u0442, \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0435\u0435 \u0438\u0437\u0443\u0447\u0438\u0442\u0435 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a; \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0447\u0442\u043e, \u043c\u0430\u0441\u0448\u0442\u0430\u0431 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0443\u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u0442\u044c"}, {"answer": "14 \u0441\u0435\u043d\u0442\u044f\u0431\u0440\u044f", "correct": false, "feedback": "\u041d\u0435\u0442, \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0435\u0435 \u0438\u0437\u0443\u0447\u0438\u0442\u0435 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a; \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0447\u0442\u043e, \u043c\u0430\u0441\u0448\u0442\u0430\u0431 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0443\u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u0442\u044c"}, {"answer": "15 \u0441\u0435\u043d\u0442\u044f\u0431\u0440\u044f", "correct": false, "feedback": "\u041d\u0435\u0442, \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0435\u0435 \u0438\u0437\u0443\u0447\u0438\u0442\u0435 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a; \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0447\u0442\u043e, \u043c\u0430\u0441\u0448\u0442\u0430\u0431 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0443\u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u0442\u044c"}]}]

Непрерывная капитализация#

Яков Бернулли задался вопросом: что будет, если капитализация происходит непрерывно, каждое мгновение? Какой будет сумма депозита через год, если число $n$ неограниченно увеличивается, или, как говорят, стремится к бесконечности, $n \to \infty$ ?

Ответ на этот вопрос легко распознать в последней строчке таблицы: за год непрерывной капитализации ваше песо превратится в $e$ песо. Это почти на $72 %$ выгоднее, чем без капитализации.

Именно таким образом и определяют число $e$ :

(2)#

e = lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n} .

То есть число $e$ — это предельное значение, к которому стремится последовательность $x_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}$ при неограниченном возрастании числа $n$ .

Изобразим эту последовательность на графике. Чем больше $n$ , тем ближе красная линия с синими кружочками к зелёной пунктирной линии, символизирующей число $e$ :

../_images/e35244ece8455c12196de39ebe160353d18b7453837cfc73fc3d18eea56abf07.svg

Какие ещё выводы о последовательностях

x_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}

и

y_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n + 1}

можно сделать исходя из предыдущего графика?

y_{n} > y_{n + 1}

x_{n} = y_{n}

при достаточно больших

n

x_{n} < y_{n}

y_{n} - x_{n} < \frac{1}{n}

x_{n} < x_{n + 1}

lim_{n \to \infty} y_{n} = e

Немного теории о пределе последовательности#

Из приведённой выше картинки вроде бы очевидно, что обе последовательности $x_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}$ и $y_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}$ монотонны и сходятся к числу $e$ . Но доказаны ли эти факты? Ведь мы видим там только $50$ первых членов этих последовательностей, мало ли что может случиться при $n = 1000, 10^{6}, 10^{100}$ и т.д.

О доказательствах в математике

Вопрос о верифицировании математического доказательства имеет социальную природу: утверждение считается доказанным, если сообщество математиков признало его таковым. Важно, что именно математиков; например, сообщество программистов, инженеров или поэтов вполне могло бы удовлетвориться сходящимися линиями на графике и счесть равенство (2) доказанным. Но вряд ли найдётся хоть один серьёзный математик, которого можно убедить в данной ситуации принять за доказательство компьютерные вычисления нескольких первых значений $x_{n}$ и сделанную на их основе иллюстрацию.

Математик будет рассуждать примерно так: «Окей, численные расчёты убеждают меня на $99 %$ , что утверждение верно; мне остаётся найти строгое доказательство этого факта, и тогда моя уверенность достигнет $100 %$ » В этом смысле компьютрные вычисления часто бывают весьма полезны: они позволяют математику отбросить заведомо ложные утверждения и сконцентрировать свои усилия на доказательстве наиболее правдоподобных.

Существование предела (2) на строгом математическом уровне обычно устанавливается с помощью следующего утверждения.

Theorem (Вейерштрасс)

Всякая монотонная ограниченная последовательность $(x_{n})$ сходится, т.е. существует такое число $α \in R$ , что $lim_{n \to \infty} x_{n} = α$ .

Вот как выглядит схема обоснования равенства (2) в типичном учебнике по матану:

Proof. 1. Проверяем, что последовательность $(x_{n})$ возрастает;

проверяем, что последовательность $(y_{n})$ убывает;
замечаем, что $y_{n} = (1 + \frac{1}{n}) x_{n} > x_{n}$ ;
из результата предыдущих шагов заключаем, что справедлива цепочка неравенств

$x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n - 1} < x_{n} < y_{n} < y_{n - 1} < \dots < y_{2} < y_{1};$
по теореме Вейерштрасса устанавливаем, что обе последовательности $(x_{n})$ и $(y_{n})$ сходятся;
замечаем, что

$lim_{n \to \infty} y_{n} = \underset{= 1}{\underset{⏟}{lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})}} \cdot lim_{n \to \infty} x_{n} = lim_{n \to \infty} x_{n} .$

Таким образом, последовательности $(x_{n})$ и $(y_{n})$ имеют общий предел, который по определению и называется числом $e$ .

В целом уже неплохо, не хватает только обоснования первых двух пунктов. Установим первый, второй проверяется аналогично.

Доказательство монотонности последовательности $x_{n}$

Докажем, что $x_{n} < x_{n + 1}$ при всех $n \in N$ . Имеем

(3)#

\begin{array}{r} \begin{matrix} \frac{x_{n + 1}}{x_{n}} = \frac{(\frac{n + 2}{n + 1})^{n + 1}}{(\frac{n + 1}{n})^{n}} = \frac{n + 2}{n + 1} (\frac{n (n + 2)}{(n + 1)^{2}})^{n} = \\ = (1 + \frac{1}{n + 1}) (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}})^{n} . \end{matrix} \end{array}

Теперь воспользуемся следующим утверждением.

Неравенство Бернулли

Если $x > - 1$ , то $(1 + x)^{n} ⩾ 1 + n x$ при всех $n \in N$ .

Согласно неравенству Бернулли

(1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}})^{n} ⩾ 1 - \frac{n}{(n + 1)^{2}} = 1 - \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{(n + 1)^{2}} .

Обозначим $t = \frac{1}{n + 1}$ , тогда из (3) следует, что

\frac{x_{n + 1}}{x_{n}} ⩾ (1 + t) (1 - t + t^{2}) = 1 + t^{3} > 1.

Итак, $x_{n + 1} > x_{n}$ , т.е. последовательность $(x_{n})$ возрастает.

Остался последний штрих: в п. 6 мы воспользовались тем, что предел произведения равен произведению пределов и $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ . Последнее равенство будем считать интуитивно очевидным: в самом деле, если $n$ может быть сколь угодно велико, то $\frac{1}{n}$ — сколь угодно мало. Арифметика же предела описывается следующей теоремой.

Theorem (арифметические свойства предела)

Если $lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ и $lim_{n \to \infty} b_{n} = b$ , то

$lim_{n \to \infty} (a_{n} \pm b_{n}) = a \pm b$ ;
$lim_{n \to \infty} (a_{n} b_{n}) = a b$ ;
$lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{a}{b}$

(последнее равенство верно, если $b \neq 0$ и $b_{n} \neq 0$ при всех $n \in N$ ).

Часто бывает полезно ещё одно утверждение о пределах.

Theorem (о двух милиционерах)

Если $a_{n} ⩽ b_{n} ⩽ c_{n}$ при всех $n \in N$ и $lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} с_{n} = a$ , то $lim_{n \to \infty} b_{n} = a$ .

В этой теореме последовательности $(a_{n})$ и $(c_{n})$ играют роль «милиционеров» и заставляют сходиться последовательность $(b_{n})$ к их общему пределу.

Задачи#

Вы положили $$ 1$ в банк под $100 %$ годовых. Сколько денег будет у вас на вкладе через $10$ лет при непрерывной капитализации процентов?
Вы положили $$ 1$ в банк на год под $100 %$ годовых. Также вы можете выбрать любое число $p \in [0; 1]$ . После истечения $p$ -й части года банк делает капитализацию процентов, и затем ещё раз в конце года. Чему равна сумма вашего вклада по истечении года? При каком $p$ она максимальна?
Докажите неравенство Бернулли $(1 + x)^{n} ⩾ 1 + n x$ , $x > - 1$ , $n \in N$ .
Докажите, что последовательность $y_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n + 1}$ убывает, т.е. $y_{n + 1} < y_{n}$ при всех $n \in N$ .
Найдите $lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^{n}$ .