Сложный процент

Сложный процент#

https://www.sapaviva.com/wp-content/uploads/2017/07/31S.-Jacob-Bernoulli-1654-1705.jpg — Fig. 1 Яков Бернулли#

Швейцарский математик Яков Бернулли (1655 — 1705) открыл число $е$, изучая вопрос о банковском вкладе с капитализацией процентов. Такой депозит также называется вкладом со сложным процентом. Сложный он тем, что проценты прибавляются к сумме вклада после каждого отчётного периода. Часто встречается другая стратегия: проценты выплачиваются вкладчику по истечении срока, а сумма депозита на следующий период остаётся прежней. Тогда это вклад с простым процентом.

Вклад в аргентинском банке#

Представьте, что вы положили $\$1$ в банк под $100\%$ годовых…

Но таких процентов не бывает в природе! Тем более в $!

Ну смотря где. В Аргентине, например, очень высокая инфляция, а в 2023 году она даже пробила отметку в $100\%$ годовых:

https://img.take-profit.org/graphs/indicatorspresident/40/1537/mauricio-macri-argentina-inflation-rate-2015-2023.png

При такой инфляции процентная ставка по вкладу в $100\%$ смотрится вполне реалистично. Да, и по странному стечению обстоятельств аргентинское песо также обозначается символом $.

Решение (не открывайте сразу, попробуйте сначала решить самостоятельно)

За первые полгода вам начислят $50$ центов, и у вас станет $\$1.5$ на вкладе
За второе полугодие вы получите $50\%$ от полутора песо, то есть 75 сентаво
В итоге у вас окажется $\$1.5 + \$0.75 = \$2.25$

Можно было рассуждать несколько иначе:

За каждый расчётный промежток сумма вклада увеличивается на $50\%$, то есть в полтора раза
Стало быть, через год у вас будет $1.5 \cdot 1.5 \cdot \$1 = \$2.25,$ или $\big(1 + \frac 12\big)^2$ песо.

Возможно, вы уже уловили закономерность: наш песо превращается в

$\Big(1 + \frac 1{2}\Big)^{2} = 2$ песо $25$ сентаво при капитализации раз в полгода;
$\Big(1 + \frac 1{12}\Big)^{12}\approx 2$ песо $61$ сентаво при ежемесячной капитализации;
$\Big(1 + \frac 1{365}\Big)^{365}\approx 2$ песо $71$ сентаво при ежедневной капитализации;
$\big(1+\frac 1n\big)^n$ песо, если капитализация происходит каждую $\frac 1n$-ю часть года.

Последняя общая формула объясняется тем, что на каждом отчётном периоде вклад увеличивается на $\frac{100}n\%$, что эквивалентно умножению текущей суммы на $1 + \frac 1n$.

С помощью общей формулы легко расчитать итоговую сумму вклада при любой частоте капитализации процентов:

Периодичность выплаты %	Сумма вклада через год, $
Ежеквартально	$2.4414$
Ежемесячно	$2.613$
Еженедельно	$2.6926$
Ежедневно	$2.714567482$
Ежечасно	$2.7182792427$
Ежесекундно	$2.718281778469$
Раз в наносекунду	$2.718281828459045$

Как видно из этой таблицы, поначалу измельчение отчётного периода даёт заметный эффект, однако, выгода от его дальнейшего уменьшения снижается. Например, переход от ежедневной капитализации к ежесекундной позволяет выиграть не более половины сентаво.

Непрерывная капитализация#

Яков Бернулли задался вопросом: что будет, если капитализация происходит непрерывно, каждое мгновение? Какой будет сумма депозита через год, если число $n$ неограниченно увеличивается, или, как говорят, стремится к бесконечности, $n\to\infty$?

Ответ на этот вопрос легко распознать в последней строчке таблицы: за год непрерывной капитализации ваше песо превратится в $e$ песо. Это почти на $72\%$ выгоднее, чем без капитализации.

Именно таким образом и определяют число $e$:

(2)#\[e = \lim\limits_{n\to\infty}\Big(1 + \frac 1n\Big)^n.\]

То есть число $e$ — это предельное значение, к которому стремится последовательность $x_n = \big(1 + \frac 1n\big)^n$ при неограниченном возрастании числа $n$.

Изобразим эту последовательность на графике. Чем больше $n$, тем ближе красная линия с синими кружочками к зелёной пунктирной линии, символизирующей число $e$:

../_images/e35244ece8455c12196de39ebe160353d18b7453837cfc73fc3d18eea56abf07.svg

Немного теории о пределе последовательности#

Из приведённой выше картинки вроде бы очевидно, что обе последовательности $x_n = \big(1 + \frac 1n\big)^n$ и $y_n = \big(1 + \frac 1n\big)^n$ монотонны и сходятся к числу $e$. Но доказаны ли эти факты? Ведь мы видим там только $50$ первых членов этих последовательностей, мало ли что может случиться при $n=1000, 10^6, 10^{100}$ и т.д.

О доказательствах в математике

Вопрос о верифицировании математического доказательства имеет социальную природу: утверждение считается доказанным, если сообщество математиков признало его таковым. Важно, что именно математиков; например, сообщество программистов, инженеров или поэтов вполне могло бы удовлетвориться сходящимися линиями на графике и счесть равенство (2) доказанным. Но вряд ли найдётся хоть один серьёзный математик, которого можно убедить в данной ситуации принять за доказательство компьютерные вычисления нескольких первых значений $x_n$ и сделанную на их основе иллюстрацию.

Математик будет рассуждать примерно так: «Окей, численные расчёты убеждают меня на $99\%$, что утверждение верно; мне остаётся найти строгое доказательство этого факта, и тогда моя уверенность достигнет $100\%$» В этом смысле компьютрные вычисления часто бывают весьма полезны: они позволяют математику отбросить заведомо ложные утверждения и сконцентрировать свои усилия на доказательстве наиболее правдоподобных.

Существование предела (2) на строгом математическом уровне обычно устанавливается с помощью следующего утверждения.

Theorem (Вейерштрасс)

Всякая монотонная ограниченная последовательность $(x_n)$ сходится, т.е. существует такое число $\alpha \in \mathbb R$, что $\lim\limits_{n\to \infty} x_n = \alpha$.

Вот как выглядит схема обоснования равенства (2) в типичном учебнике по матану:

Proof. 1. Проверяем, что последовательность $(x_n)$ возрастает;

проверяем, что последовательность $(y_n)$ убывает;
замечаем, что $y_n = \big(1 + \frac 1n\big) x_n > x_n$;
из результата предыдущих шагов заключаем, что справедлива цепочка неравенств

\[ x_1 < x_2 < \ldots < x_{n-1} < x_n < y_n < y_{n-1} < \ldots < y_2 < y_1; \]
по теореме Вейерштрасса устанавливаем, что обе последовательности $(x_n)$ и $(y_n)$ сходятся;
замечаем, что

\[ \lim\limits_{n\to \infty} y_n = \underbrace{\lim\limits_{n\to \infty} \Big(1 + \frac 1n\Big)}_{=1} \cdot\lim\limits_{n\to \infty} x_n = \lim\limits_{n\to \infty} x_n. \]

Таким образом, последовательности $(x_n)$ и $(y_n)$ имеют общий предел, который по определению и называется числом $e$.

В целом уже неплохо, не хватает только обоснования первых двух пунктов. Установим первый, второй проверяется аналогично.

Доказательство монотонности последовательности $x_n$

Докажем, что $x_n < x_{n+1}$ при всех $n \in \mathbb N$. Имеем

(3)#\[\begin{split} \begin{multline*} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{\big(\frac{n+2}{n+1}\big)^{n+1}}{\big(\frac{n+1}{n}\big)^{n}} = \frac{n+2}{n+1} \bigg(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}\bigg)^n = \\ =\Big(1 + \frac 1{n+1}\Big) \bigg(1 - \frac{1}{(n+1)^2}\bigg)^n. \end{multline*}\end{split}\]

Теперь воспользуемся следующим утверждением.

Неравенство Бернулли

Если $x > -1$, то $(1 + x)^n \geqslant 1+nx$ при всех $n\in\mathbb N$.

Согласно неравенству Бернулли

\[ \bigg(1 - \frac{1}{(n+1)^2}\bigg)^n \geqslant 1 - \frac n{(n+1)^2} = 1 - \frac 1{n+1} + \frac 1{(n+1)^2}. \]

Обозначим $t = \frac 1{n+1}$, тогда из (3) следует, что

\[ \frac{x_{n+1}}{x_n} \geqslant (1+t)(1-t+t^2) = 1 + t^3 > 1. \]

Итак, $x_{n+1} > x_n$, т.е. последовательность $(x_n)$ возрастает.

Остался последний штрих: в п. 6 мы воспользовались тем, что предел произведения равен произведению пределов и $\lim\limits_{n\to \infty} \frac 1n = 0$. Последнее равенство будем считать интуитивно очевидным: в самом деле, если $n$ может быть сколь угодно велико, то $\frac 1n$ — сколь угодно мало. Арифметика же предела описывается следующей теоремой.

Theorem (арифметические свойства предела)

Если $\lim\limits_{n\to \infty} a_n = a$ и $\lim\limits_{n\to \infty} b_n = b$, то

$\lim\limits_{n\to \infty} (a_n \pm b_n) = a \pm b$;
$\lim\limits_{n\to \infty} (a_n b_n) = ab$;
$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac ab$

(последнее равенство верно, если $b\ne 0$ и $b_n\ne 0$ при всех $n\in\mathbb N$).

Часто бывает полезно ещё одно утверждение о пределах.

Theorem (о двух милиционерах)

Если $a_n \leqslant b_n \leqslant c_n$ при всех $n\in\mathbb N$ и $\lim\limits_{n\to \infty} a_n = \lim\limits_{n\to \infty} с_n = a$, то $\lim\limits_{n\to \infty} b_n = a$.

В этой теореме последовательности $(a_n)$ и $(c_n)$ играют роль «милиционеров» и заставляют сходиться последовательность $(b_n)$ к их общему пределу.

Задачи#

Вы положили $\$1$ в банк под $100\%$ годовых. Сколько денег будет у вас на вкладе через $10$ лет при непрерывной капитализации процентов?
Вы положили $\$1$ в банк на год под $100\%$ годовых. Также вы можете выбрать любое число $p \in [0; 1]$. После истечения $p$-й части года банк делает капитализацию процентов, и затем ещё раз в конце года. Чему равна сумма вашего вклада по истечении года? При каком $p$ она максимальна?
Докажите неравенство Бернулли $(1 + x)^n \geqslant 1+nx$, $x > -1$, $n \in\mathbb N$.
Докажите, что последовательность $y_n = \big(1+\frac 1n\big)^{n+1}$ убывает, т.е. $y_{n+1} < y_n$ при всех $n \in\mathbb N$.
Найдите $\lim\limits_{n\to \infty} \big(1-\frac 1n\big)^n$.

Периодичность выплаты %	Сумма вклада через год, $
Ежеквартально	\(2.4414\)
Ежемесячно	\(2.613\)
Еженедельно	\(2.6926\)
Ежедневно	\(2.714567482\)
Ежечасно	\(2.7182792427\)
Ежесекундно	\(2.718281778469\)
Раз в наносекунду	\(2.718281828459045\)