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
Число Эйлера
Число \(e\) — одна из самых замечательных и фундаментальных математических констант. В учебниках по матану она обычно определяется сухой формулой
\[
e = \lim\limits_{n\to\infty} \Big(1 + \frac 1n\Big)^n.
\]
Иногда к ней добавляется ещё одна:
\[
e = \lim \limits_{n\to\infty} \Big(1 + \frac 1{1!} + \frac 1{2!} + \ldots + \frac 1{n!}\Big) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac 1{n!}.
\]
Далее в дело вступает второй замечательный предел
\[
e = \lim\limits_{x \to 0} (1+x)^{\frac 1x},
\]
на отработку которого предлагается вычислить 100500 пределов (хотя не очень понятно — зачем). Попутно каким-то образом вводится показательная функция \(e^x,\) которую затем в комплекте с другими элементарными функциями то и дело дифференцируют или интегрируют.
За этой традиционной схемой теряется сам смысл числа \(e\) и экспоненциальной функции \(e^x\). Как зарождались этим понятия? Чем они так важны, что имеют специальные обозначения? Какая именно математика кроется под этими обозначениями? В чём полезность числа \(e\) и экспоненты с теоретической точки зрения? Какие у них есть практические приложения? На эти и другие вопросы мы постараемся ответить в этом мини-учебнике.
Интерактивные задачи
Каждый параграф учебника содержит несколько интерактивных задач, которые делятся на три типа:
задача с выбором единственного верного ответа (single choice);
задача с выбором нескольких верных ответов (multiple choice);
задача с вводом числового ответа (numeric).
Далее приведено по одному примеру на каждый тип.
Single choice
Вопрос с единственным правильным ответом написан на заголовке сине-фиолетового цвета. Если выбран правильный ответ, он загорается зелёным цветом, и ниже появляется фидбек того же цвета. В противном случае ответ и фидбек загораются красным.
