Matrices#

Табличный способ хранения данных чрезвычайно широко распространён, и если эти данные числовые, то с математической точки зрения они образуют матрицу — двумерный массив из чисел. Для эффективной обработки и анализа таких данных, а также обучения моделей машинного обучения на них, важно хорошо ориентироваться в матричных операциях и разложениях и их свойствах.

Матрицы принято обозначать заглавными жирными буквами: \(\boldsymbol A\), \(\boldsymbol B\), \(\boldsymbol C\), \(\boldsymbol X\), \(\boldsymbol Y\) и т.п. Множество матриц, имеющих \(m\) строк и \(n\) столбцов обозначается через \(\mathbb R^{m\times n}\). Элемент \(i\)-й строки и \(j\)-го столбца матрицы \(\boldsymbol A \in \mathbb R^{m\times n}\) будем обозначать \(A_{ij}\). Допустимо также обозначение \(a_{ij}\), особенно когда дело доходит до подробной записи

\[\begin{split} \boldsymbol A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \\ \end{pmatrix}. \end{split}\]

Эту же матрицу можно представить как набор строк или столбцов:

\[\begin{split} \boldsymbol A = \begin{pmatrix} \boldsymbol b_1^\mathsf{T} \\ \boldsymbol b_2^\mathsf{T} \\ \vdots\\ \boldsymbol b_m^\mathsf{T} \\ \end{pmatrix} = [\boldsymbol c_1 \boldsymbol c_2 \dots \boldsymbol c_n], \quad \boldsymbol b_i = \begin{pmatrix} a_{i1} \\ a_{i2} \\ \vdots \\ a_{in} \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol c_j = \begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{pmatrix} \end{split}\]

Если \(m=n\), то матрица \(\boldsymbol A\) называется квадратной, в противном случае — прямоугольной. Вектор \(\boldsymbol x \in \mathbb R^n\) можно считать матрицей размера \(n\times 1\) (столбец) или \(1\times n\) (строка).

Транспонированная матрица \(\boldsymbol A^\mathsf{T} \in \mathbb R^{n\times m}\) в качестве строк содержит столбцы матрицы \(\boldsymbol A\): \(A^\mathsf{T}_{ij} = A_{ji}\). В частности, вектор-столбец получается транспонированием из вектора-строки, и наоборот, чем и объясняется обозначение \(\boldsymbol x^\mathsf{T}\) для векторов-строк.

Feature matrix

In machine learning a numeric dataset is usually represented by the feature matrix \(\boldsymbol X\) in which each training sample is represented by a row vector \(\boldsymbol x_i^\mathsf{T}\). Hence,

\[\begin{split} \boldsymbol X = \begin{pmatrix} \boldsymbol x_1^\mathsf{T} \\ \boldsymbol x_2^\mathsf{T} \\ \vdots\\ \boldsymbol x_n^\mathsf{T} \\ \end{pmatrix} \end{split}\]

np.array can handle multidimenstional arrays including matrices. For example, let’s generate a random matrix of shape \(2\times 3\)

import numpy as np
A = np.random.rand(2, 3)
A

array([[0.4495285 , 0.3634043 , 0.67298861],
       [0.67521062, 0.10220722, 0.69235149]])

For transposing use attribute .T:

A.T

array([[0.89698755, 0.52984442],
       [0.59051524, 0.76303108],
       [0.22936288, 0.33085304]])

Square matrices#

A square matrix \(\boldsymbol A \in \mathbb R^{n\times n}\) has the same number of rows and columns. Each square matrix has two diagonals: main (primaty, principle) and secondary (side, antidiagonal).

https://learnetutorials.com/assets/images/programs/diagonal1.png

Trace of a matrix is equal to the sum of the elements on its main diagonal: \(\mathrm{tr}(\boldsymbol A) = \sum\limits_{i=1}^n a_{ii}\).

Identity matrix#

All ones on the main diagonal, all zeros outside it. Identity matrix is denoted as \(\boldsymbol I\) or \(\boldsymbol I_n\) if we want to underscore its shape:

\[\begin{split} \boldsymbol I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 &\dots & 1 \\ \end{pmatrix}. \end{split}\]

Identity matrix in NumPy is created by np.eye:

I = np.eye(4, dtype=np.int32)
I

array([[1, 0, 0, 0],
       [0, 1, 0, 0],
       [0, 0, 1, 0],
       [0, 0, 0, 1]], dtype=int32)

By default the underlying type is float:

np.eye(3)

array([[1., 0., 0.],
       [0., 1., 0.],
       [0., 0., 1.]])

Diagonal matrix#

Can have nonzero elements only on the main diagonal:

\[\begin{split} \boldsymbol \Lambda = \mathrm{diag}\{\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & \lambda_n \\ \end{pmatrix}.\end{split}\]

Identity matrix is a special case of a diagonal matrix:

\[ \boldsymbol I = \mathrm{diag}\{1, 1, \dots, 1\}. \]

np.diag can either create a diagonal matrix or extract the main diagonal of a matrix. Here we create a diagonal matrix:

D = np.diag([1, 2, 3])
D

array([[1, 0, 0],
       [0, 2, 0],
       [0, 0, 3]])

A = np.random.normal(size=(3, 3))
A

array([[-0.44717254,  1.4078295 , -0.6438964 ],
       [ 0.30502598,  1.0711746 ,  1.15591706],
       [ 1.51407551,  1.83549146, -1.7051814 ]])

And here the extraction of the main diagonal happens:

np.diag(A)

array([-0.44717254,  1.0711746 , -1.7051814 ])

Triangular matrices#

An upper triangular matrix \(\boldsymbol U\) has all zeros above the main diagonal: \(U_{ij} = 0\) if \(i > j\),

\[\begin{split} \boldsymbol U = \begin{pmatrix} u_1 & * & * & \dots & * \\ 0 & u_2 & * & \dots & * \\ 0 & 0 & u_3 & \dots & * \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & u_n \\ \end{pmatrix}. \end{split}\]

A lower triangular matrix \(\boldsymbol L\), on the other hand, has all zeros below the main diagonal: \(L_{ij} = 0\) if \(i < j\),

\[\begin{split} \boldsymbol L = \begin{pmatrix} \ell_1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ * & \ell_2 & 0 & \dots & 0 \\ * & * & \ell_3 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ * & * & * & \dots & \ell_n \\ \end{pmatrix}. \end{split}\]

Note that \(\boldsymbol U\) is upper triangular iff \(\boldsymbol U^\mathsf{T}\) is lower triangular.

Symmetric matrices#

A square matrix \(\boldsymbol A\) is called

  • symmetric if \(\boldsymbol A^\mathsf{T} = \boldsymbol A\);

  • skew-symmetric if \(\boldsymbol A^\mathsf{T} = -\boldsymbol A\).

Any square matrix \(\boldsymbol A\) can be represented as a sum of a symmetric and a skew-symmetric matrix:

\[ \boldsymbol A = \frac{\boldsymbol A + \boldsymbol A^\top}2 + \frac{\boldsymbol A - \boldsymbol A^\top}2. \]

Orthogonal matrices#

A square matrix \(\boldsymbol Q = [\boldsymbol q_1 \ldots \boldsymbol q_n]\) is orthogonal if its columns are orthonormal, i.e., \(\langle \boldsymbol q_i, \boldsymbol q_j\rangle = \delta_{ij}\), where \(\delta_{ij}\) is Kronecker delta.

An example of orthogonal matrix is given by the rotation matrix

(43)#\[\begin{split} \boldsymbol Q = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin\theta \\ \sin \theta & \cos\theta \\ \end{pmatrix}.\end{split}\]

Matrix operations#

Перечислим поэлементные операции с матрицами. Пусть матрицы \(\boldsymbol A, \boldsymbol B \in \mathbb R^{m\times n}\), \(\alpha \in \mathbb R\), \(1 \leqslant i \leqslant m\), \(1\leqslant j \leqslant n\).

  • Сложение матриц:

\[ \boldsymbol С = \boldsymbol A + \boldsymbol B \iff C_{ij} = A_{ij} + B_{ij}. \]

  • Умножение матрицы на скаляр:

\[ \boldsymbol B = \alpha \boldsymbol A \iff B_{ij} = \alpha A_{ij}. \]

  • Поэлементное умножение (произведение Адамара) и деление матриц:

    \[ \boldsymbol C = \boldsymbol A \odot \boldsymbol B \iff C_{ij} = A_{ij} B_{ij},\quad \boldsymbol D = \boldsymbol A \oslash \boldsymbol B \iff D_{ij} = \frac{A_{ij}}{B_{ij}} \]

    (последнее возможно, разумеется, только если все элементы матрицы \(\boldsymbol B\) не равны нулю). Стоит отметить, что под произведением матриц обычно понимают совсем иную операцию, нежели поэлементное умножение, и о ней предстоит отдельный разговор.

Первые два свойства указывают на то, что матрицы можно рассматривать как вектора особого вида. Можно даже пойти дальше и записать матрицу размера \(m\times n\) в виде одномерного массива длины \(mn\) (например, построчно), и получится вектор в чистом виде. Такая операция применяется, к примеру, в свёрточных нейронных сетях, когда на определённом этапе представленная матрицей или тензором картинка выпрямляется (flatten) в вектор для дальнейшего прохождения через один или несколько полносвязных слоёв.

Matrix operations in NumPy are quite natural:

A = np.random.randint(-2, 3, size=(2, 3))
B = np.arange(1, 7).reshape(2, 3)
print(A)
print(B)

[[ 0 -2  0]
 [ 1  1 -1]]
[[1 2 3]
 [4 5 6]]

A + B

array([[1, 0, 3],
       [5, 6, 5]])

A - B

array([[-1, -4, -3],
       [-3, -4, -7]])

A * B

array([[ 0, -4,  0],
       [ 4,  5, -6]])

A / B

array([[ 0.        , -1.        ,  0.        ],
       [ 0.25      ,  0.2       , -0.16666667]])

Matrix-vector product#

Matrix times column = column#

If \(\boldsymbol A \in \mathbb R^{m\times n}\), \(\boldsymbol x \in \mathbb R^n\), then \(\boldsymbol A\boldsymbol x = \boldsymbol b \in \mathbb R^m\), and its coordinates are

\[ b_i = \sum\limits_{j=1}^n A_{ij} x_j, \quad 1 \leqslant i \leqslant m. \]

Observe that \(b_i = \boldsymbol a_i^\mathsf{T} \boldsymbol x\) where \(\boldsymbol a_i^\mathsf{T}\) — \(i\)-th row of \(\boldsymbol A\). Alternatively, if we denote \(j\)-th column of \(\boldsymbol A\) as \(\boldsymbol a_j\), then

\[ \boldsymbol b = \boldsymbol A\boldsymbol x = \sum\limits_{j=1}^n x_j \boldsymbol a_j. \]

Hence, \(\boldsymbol b = \boldsymbol A\boldsymbol x\) is a linear combination of columns of \(\boldsymbol A\).

Since matrix times vector operation is quite similar to inner products, the Python syntax is the same as here:

A = np.arange(10).reshape(2, -1)
b = np.array([2, 1, -1, 0, -2])
A

array([[0, 1, 2, 3, 4],
       [5, 6, 7, 8, 9]])

A.dot(b), np.dot(A, b), A @ b

(array([-9, -9]), array([-9, -9]), array([-9, -9]))

If the number of columns of \(\boldsymbol A\) is different form the size of \(\boldsymbol b\), the try to multiply them will result in an error:

A @ np.ones(4)

---------------------------------------------------------------------------
ValueError                                Traceback (most recent call last)
Cell In[21], line 1
----> 1 A @ np.ones(4)

ValueError: matmul: Input operand 1 has a mismatch in its core dimension 0, with gufunc signature (n?,k),(k,m?)->(n?,m?) (size 4 is different from 5)

Row times matrix = row#

Умножая матрицу на вектор-столбец, мы получаем снова вектор-столбец; умножение матрицы на вектор-строку записывают в обратном порядке:

\[ \boldsymbol y^\top \boldsymbol A = \boldsymbol c^\top,\quad \boldsymbol y \in \mathbb R^m, \quad \boldsymbol A \in \mathbb R^{m\times n}, \quad \boldsymbol c \in \mathbb R^n, \quad c_j = \sum\limits_{i=1}^m y_i A_{ij}. \]

Результат такого умножения представляет собой линейную комбинацию строк матрицы \(\boldsymbol A\): \(\boldsymbol c^\top = \sum\limits_{i=1}^m y_i \boldsymbol a_i^\top\).

A = np.arange(-2, 4).reshape(3, 2)
b = np.array([2, 1, -1])
A

array([[-2, -1],
       [ 0,  1],
       [ 2,  3]])

b.T @ A

array([-6, -4])

Without transposition \(\boldsymbol b\) is treated as a column vector, and attempt to multiply it by \(\boldsymbol A\) fails:

b @ A

---------------------------------------------------------------------------
ValueError                                Traceback (most recent call last)
Cell In[22], line 1
----> 1 b @ A

ValueError: matmul: Input operand 1 has a mismatch in its core dimension 0, with gufunc signature (n?,k),(k,m?)->(n?,m?) (size 2 is different from 5)

Row times column#

Заметим, что матрицу \(\boldsymbol A\) размера \(1 \times n\) можно представить в виде вектора-строки \(\boldsymbol a^\mathsf{T}\). С другой стороны, согласно определению результат её умножения на вектор \(\boldsymbol x \in \mathbb R^n\) равен числу

\[ \boldsymbol A \boldsymbol x = \boldsymbol a^\mathsf{T} \boldsymbol x = \sum\limits_{j=1}^n a_j x_j, \]

а это в точности скалярное произведение \(\langle \boldsymbol a, \boldsymbol x\rangle\). Отсюда и проистекает его весьма популярное обозначение через матрично-векторное произведение \(\boldsymbol a^\mathsf{T} \boldsymbol x\), которым мы также будем активно пользоваться в дальнейшем.

Matrix product#

Матрицу \(\boldsymbol A\) можно умножить на матрицу \(\boldsymbol B\), если количество столбцов матрицы \(\boldsymbol A\) равно числу строк матрицы \(\boldsymbol B\). А именно, произведением матриц \(\boldsymbol A \in\mathbb R^{m\times n}\) и \(\boldsymbol B \in\mathbb R^{n\times p}\) является матрица \(\boldsymbol C = \boldsymbol A \boldsymbol B \in\mathbb R^{m\times p}\), каждый элемент которой равен

\[ C_{ik} = \sum\limits_{j=1}^n A_{ij}B_{jk},\quad 1\leqslant i \leqslant m, \quad 1\leqslant k \leqslant p. \]

Элементы матрицы \(\boldsymbol C\) можно записать в виде \(C_{ik} = \boldsymbol a_i^\mathsf{T} \boldsymbol b_k\), где \(\boldsymbol a_i^\mathsf{T}\) — строки матрицы \(\boldsymbol A\), а \(\boldsymbol b_k\) — столбцы матрицы \(\boldsymbol B\). Вычисление каждого элемента \(C_{ik}\) требует \(O(n)\) арифметических операций, поэтому общая сложность подсчёта произведения матриц составляет \(O(mnp)\). Если все матрицы квадратные размера \(n\times n\), то сложность будет \(O(n^3)\).

А быстрее можно?

Алгоритм Штрассена позволяет перемножать квадратные матрицы чуть быстрее, а именно за \(O(n^{\log_2 7})\), что примерно составляет \(O(n^{2.81})\). Алгоритм Штрассена был разработан ещё в 1969 году, и с тех пор было предложено множество алгоритмов с лучшей асимптотикой. Подробнее про эту гонку можно почитать в этой статье, где текущая SoTA указана как \(O(n^{2.3728596})\). Математики не оставляют надежд добиться асимптотики \(O(n^2)\) или хотя бы \(O(n^{2+\varepsilon})\) для любого сколь угодно малого \(\varepsilon > 0\), однако, все эти изыскания носят сугубо теоретический характер из-за гигантских констант в O-большом и сложности реализации подобных алгоритмов.

Впрочем, сегодня новые алгоритмы перемножения матриц придумывают не только математики, но и нейронные сети. Например, компания DeepMind с помощью глубокого обучения подкрепления разработала алгоритм AlphaTensor способный перемножать матрицы размера \(5\times 5\) эффективнее, чем алгоритм Штрассена (\(76\) умножений против \(80\)).

Произведение матриц \(\boldsymbol A \boldsymbol B\) можно представить также в виде набора столбцов, получающихся умножением матрицы \(\boldsymbol A\) на столбцы матрицы \(\boldsymbol B\): если \(\boldsymbol B = [\boldsymbol b_1 \ldots \boldsymbol b_p]\), то

\[ \boldsymbol A \boldsymbol B = [\boldsymbol A\boldsymbol b_1 \ldots \boldsymbol A\boldsymbol b_p]. \]

Или же можно строки матрицы \(\boldsymbol A\) умножать на матрицу \(\boldsymbol B\): если

\[\begin{split} \boldsymbol A = \begin{pmatrix} \boldsymbol a_1^\mathsf{T} \\ \boldsymbol a_2^\mathsf{T} \\ \vdots\\ \boldsymbol a_m^\mathsf{T} \\ \end{pmatrix}, \text{ то } \boldsymbol A \boldsymbol B = \begin{pmatrix} \boldsymbol a_1^\mathsf{T} \boldsymbol B \\ \boldsymbol a_2^\mathsf{T} \boldsymbol B \\ \vdots\\ \boldsymbol a_m^\mathsf{T} \boldsymbol B \\ \end{pmatrix}. \end{split}\]

Matrix product in NumPy is similar to that of vectors:

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
B = np.arange(12).reshape(3, 4)
print(A.shape, B.shape)

(2, 3) (3, 4)

A.dot(B)

array([[ 32,  38,  44,  50],
       [ 68,  83,  98, 113]])

Properties of matrix product#

  1. \((\boldsymbol{AB})\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}(\boldsymbol{BC})\) (ассоциативность)

  2. \((\boldsymbol A + \boldsymbol B)\boldsymbol{C} = \boldsymbol{AC} + \boldsymbol{BC}\), \(\boldsymbol{C}(\boldsymbol A + \boldsymbol B) = \boldsymbol{CA} + \boldsymbol{CB}\) (дистрибутивность)

  3. \((\boldsymbol{AB})^\mathsf{T} = \boldsymbol B^\mathsf{T} \boldsymbol A^\mathsf{T}\)

  4. \(\mathrm{tr}(\boldsymbol{AB}) = \mathrm{tr}(\boldsymbol{BA})\)

Последнее свойство обобщается до равенства \(\mathrm{tr}(\boldsymbol{ABC}) = \mathrm{tr}(\boldsymbol{CAB})\), которое справедливо для любого числа сомножителей с согласованными размерами. Это так называемое циклическое свойство следа матрицы.

Let’s check this properties for random matrices. Start with associativity:

m, n, p, q = 2, 3, 4, 5
A = np.random.randn(m, n)
B = np.random.randn(n, p)
C = np.random.randn(p, q)
np.allclose((A @ B).dot(C), A.dot(B @ C))

True

Distributivity:

np.allclose((A + B) @ C, A @ C + B @ C)

True

Transposing:

A = np.random.randn(m, n)
B = np.random.randn(n, p)
np.allclose((A @ B).T, B.T @ A.T)

True

Trace:

A = np.random.randn(m, n)
B = np.random.randn(n, m)
np.trace(A @ B), np.trace(B @ A)

(0.6484650575676159, 0.6484650575676162)

Несколько дополнительных свойств для квадратных матриц:

  • \(\boldsymbol{AI} = \boldsymbol{IA} = \boldsymbol A\);

  • если \(\boldsymbol P\) — матрица перестановки, то матрица \(\boldsymbol{PA}\) получается из матрицы \(\boldsymbol A\) перестановкой строк, а матрица \(\boldsymbol{AP}\) — перестановкой столбцов;

  • произведение двух верхних (нижних) треугольных матриц тоже верхняя (нижняя) треугольная матрица;

  • если матрица \(\boldsymbol Q\) ортогональна, то \(\boldsymbol{QQ}^\mathsf{T} = \boldsymbol Q^\mathsf{T} \boldsymbol Q = \boldsymbol I\).

А вот коммутировать квадратные матрицы не обязаны: в общем случае \(\boldsymbol{AB} \ne \boldsymbol{BA}\).

A = np.random.randn(n, n)
B = np.random.randn(n, n)
np.allclose(A @ B, B @ A)

False

Powers of matrices#

Квадратные матрицы можно возводить в натуральную степень так же, как и обычные числа. Вот, например, индуктивное определение степени матрицы:

\[ \boldsymbol A^n = \boldsymbol A^{n-1} \boldsymbol A, \quad n\in\mathbb N,\quad \boldsymbol A^0 = \boldsymbol I. \]

Справедливы равенства

\[ \boldsymbol A^{m+n} = \boldsymbol A^m\boldsymbol A^n,\quad \boldsymbol A^{mn} = \boldsymbol (\boldsymbol A^m)^n, \quad m, n \in \mathbb N. \]

Можно даже пойти дальше, и определить взятие экспоненты или синуса от матрицы через ряд Тейлора:

\[ \exp(\boldsymbol A) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{\boldsymbol A^n}{n!},\quad \sin(\boldsymbol A) = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{\boldsymbol A^{2n+1}}{(2n+1)!} \]

(можно доказать, что эти ряды сходятся).

Warning

В машинном (и особенно глубинном) обучении часто берут числовую функцию от матрицы, например \(\log(\boldsymbol A)\), \(\tanh(\boldsymbol A)\) или \(\sigma(\boldsymbol A)\), где \(\sigma(x) = \frac 1{1+e^{-x}}\) — сигмоида. Такая запись почти наверное подразумевает поэлементное применение функции к каждой ячейке матрицы \(\boldsymbol A\), а вовсе не матричные ряды! Тем более что матрицы в машинном обучении чаще всего прямоугольные, а для них нельзя определить ни степень, ни ряд.

Exponent in numpy is elementwise:

np.exp(B)

array([[1.00000000e+00, 2.71828183e+00, 7.38905610e+00, 2.00855369e+01],
       [5.45981500e+01, 1.48413159e+02, 4.03428793e+02, 1.09663316e+03],
       [2.98095799e+03, 8.10308393e+03, 2.20264658e+04, 5.98741417e+04]])

One-rank matrix#

Одноранговая матрица задаётся произведением столбца на строку: \(\boldsymbol A = \boldsymbol {uv}^\mathsf{T}\), \(\boldsymbol u \in \mathbb R^m\), \(\boldsymbol v \in \mathbb R^n\). Элементы этой прямоугольной матрицы равны \(A_{ij} = u_i v_j\), а все её строки/столбцы пропорциональны. Отметим также, что если \(m=n\), то

\[ \mathrm{tr}(\boldsymbol {uv}^\mathsf{T}) = \sum\limits_{i=1}^n u_i v_i = \boldsymbol v^\mathsf{T} \boldsymbol u = \mathrm{tr}(\boldsymbol v^\mathsf{T} \boldsymbol u). \]

Произведение матриц \(\boldsymbol A \in\mathbb R^{m\times n}\) и \(\boldsymbol B \in\mathbb R^{n\times p}\) можно записать в виде суммы одноранговых матриц:

\[\begin{split} \boldsymbol {AB} = [\boldsymbol a_1, \ldots, \boldsymbol a_n] \begin{pmatrix} \boldsymbol b_1^\mathsf{T} \\ \boldsymbol b_2^\mathsf{T} \\ \vdots\\ \boldsymbol b_n^\mathsf{T} \\ \end{pmatrix} = \sum\limits_{j=1}^n \boldsymbol a_j \boldsymbol b_j^\mathsf{T}. \end{split}\]

В англоязычной литературе умножение столбца на строку \(\boldsymbol {uv}^\mathsf{T}\) называется outer product («внешнее произведение»), по аналогии со скалярным произведением \(\boldsymbol u^\mathsf{T}\boldsymbol v\), называемым inner product («внутреннее произведение»).

Block matrices#

Блочная матрица имеет вид

\[\begin{split} \begin{pmatrix} \boldsymbol A & \boldsymbol B \\ \boldsymbol C & \boldsymbol D \end{pmatrix} = \left(\begin{array}{@{}c|c@{}} \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & \dots & a_{km} \end{matrix} & \begin{matrix} b_{11} & \dots & b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{k1} & \dots & b_{kn} \end{matrix} \\ \hline \begin{matrix} c_{11} & \dots & c_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{\ell 1} & \dots & c_{\ell m} \end{matrix} & \begin{matrix} d_{11} & \dots & d_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{\ell 1} & \dots & d_{\ell n} \end{matrix} \end{array}\right). \end{split}\]

Блочные матрицы могут иметь произвольное число матричных блоков по каждому измерению. Интересно, что перемножать блочные матрицы можно по тем же правилам, что и матрицы из чисел, например

\[\begin{split} \begin{pmatrix} \boldsymbol A_{11} & \boldsymbol A_{12} \\ \boldsymbol A_{21} & \boldsymbol A_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol B_1 \\ \boldsymbol B_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol A_{11} \boldsymbol B_1 + \boldsymbol A_{12} \boldsymbol B_2 \\ \boldsymbol A_{21} \boldsymbol B_1 + \boldsymbol A_{22} \boldsymbol B_2 \end{pmatrix} \end{split}\]

(при условии, что размеры матриц позволяют корректно произвести все матричные умножения).

Exercises#

  1. Calculate \(\mathrm{tr}(\boldsymbol I_n)\).

  2. Prove that the main diagonal of a skew-symmetric matrix contains only zeros.

  3. Prove that the rotation matrix (43) is orthogonal.

  4. Prove that any reflection matrix \(\boldsymbol I - 2\boldsymbol u \boldsymbol u^\top\), \(\boldsymbol u \in\mathbb R^n\), \(\Vert \boldsymbol u \Vert_2 = 1\), is orthogonal.

  5. How many arithmetic operations is required for calculation \(\boldsymbol{Ax}\) if \(\boldsymbol A \in \mathbb R^{m\times n}\), \(\boldsymbol x \in \mathbb R^n\)? What if \(m=n\)?

  6. Give an example of two square matrices \(\boldsymbol A\) and \(\boldsymbol B\) such that \(\boldsymbol{AB} \ne \boldsymbol{BA}\).

  7. Prove that \(\mathrm{tr}(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}) = \mathrm{tr}(\boldsymbol{A}) + \mathrm{tr}(\boldsymbol{B})\), \(\mathrm{tr}(\lambda\boldsymbol{A}) = \lambda\mathrm{tr}(\boldsymbol{A})\), \(\mathrm{tr}(\boldsymbol{AB}) = \mathrm{tr}(\boldsymbol{BA})\).

  8. Let \(\boldsymbol A\) and \(\boldsymbol B\) be two symmetric matrices of the same shape. Is their product is necessarily symmetric?

  9. Find the transpose to the block matrix

\[\begin{split} \begin{pmatrix} \boldsymbol A & \boldsymbol B \\ \boldsymbol C & \boldsymbol D \end{pmatrix}, \end{split}\]

where \(\boldsymbol A \in \mathbb R^{k\times m}\), \(\boldsymbol B \in \mathbb R^{k\times n}\), \(\boldsymbol C \in \mathbb R^{\ell\times m}\), \(\boldsymbol D \in \mathbb R^{\ell\times n}\).