Statistics

Различные типы распределений применяются в качестве теоретических моделей в задачах, связанных со случайностью и неопределённостью. Однако на практике далеко не всегда ясно, какое именно распределение моделирует имеющиеся в наличии данные. А если из каких-либо соображений тип распределения всё же установлен, то следующая задача — оценить параметры этого распределения, например, среднее и/или дисперсию в случае гауссовского распределения $\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$.

Подобными обратными по отношению к теории вероятностей задачами занимается математическая статистика. Типичный пример статистической задачи: по числовой выборке $X_1,\dots ,X_n$ оценить параметры распределения, из которого они были получены. Обычно предполагается, что выборка i.i.d. (independent and identically distributed), то есть представляет собой независимые реализации случайной величины с одним и тем же распределением. Параметр этого определения $\theta$ может быть числом или вектором; оценку этого параметра по выборке $X_1,\dots ,X_n$ обычно обозначают $\hat{\theta }(X_1,\dots ,X_n)$ или просто $\hat{\theta }$.

Common statistics

Statistic is a function of sample $X_1,\dots ,X_n$. Here are some widely used statistics:

1. Sample average:

   $${\bar{X}}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i.$$

2. Sample variance:

   $${\bar{S}}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-{\bar{X}}_n{)}^2.$$

3. Sample median is the middle element of the rearranged sample

   $$X_{(1)}⩽X_{(2)}⩽\dots ⩽X_{(n)}.$$

   If $n$ is odd, $n=2m+1$, then the middle element is unique and

   $$\mathrm{med}(X_1,\dots ,X_n)=X_{(m)}$$

   Otherwise, if $n=2m$, then median is taken as average of two middle elements:

   $$\mathrm{med}(X_1,\dots ,X_n)=\frac{1}{2}(X_{(m)}+X_{(m+1)}).$$